Bartel van der Waerden (1903-1996)
über Emmy Noether
Bartel van der Waerden am 26. Januar 1979 im Hörsaal der Chemie in Heidelberg bei einem Vortrag über "Meine Göttinger Lehrjahre". Van der Waerden sprach frei, der Vortrag wurde auf Tonband aufgenommen, transkripiert und von Peter Roquette 1997 veröffentlicht. Van der Waerden wird bei dem Kolloquium zum hundersten Geburtstag von Emmy Noether im mathematischen Institut der Universität Erlangen 1982, auf dem er wieder über seine "Göttinger Lehrjahre" sprach, zwar Ähnliches, aber sicher nicht das Gleiche erzählt haben. Der Vortrag in Heidelberg 1979 ist abgedruckt in: DMV-Mitteilungen 2/1997, S. 20-27. Hier folgen die Auszüge die direkt Emmy Noether betreffen:
Dann, nach meiner Schlußprüfung in Amsterdam [Herbst 1924], kam ich nach Göttingen, mit einer Empfehlung von Brouwer an Helmut Kneser, der damals in Göttingen Privatdozent war. Helmut Kneser war der Sohn von Adolf Kneser, einem Mathematiker aus Breslau und später wurde er der Vater von Martin Kneser, einem Zahlentheoretiker, der jetzt in Göttingen Professor ist. Und da soll einer noch sagen, daß die mathematische Begabung nicht erblich sei! Kneser veranlaßte also, daß ich mit ihm am selben Mittagstisch teilnahm, und nach dem Mittagessen gingen wir immer hinauf in den Hainberg an den Rand des Waldes, dann gingen wir am Waldrand entlang und dann wieder hinunter zu seiner Wohnung. Und da wurde ich eingeweiht in die damals moderne Mathematik. Kneser war Funktionentheoretiker und Topologe; er erzählte mir von der neuesten Entwicklung in der Topologie. Meistens verstand ich nicht, was er mir gesagt hat. Dann ging ich schnurstracks in die Bibliothek und las die Zeitschriftartikel, die er mir angesagt hatte. Am nächsten Tag fragte ich dann, ob ich seine Bemerkungen am Vortag richtig verstanden habe, und wie man das beweist und so, und wir diskutierten weiter. In dieser Weise habe ich dann in kürzester Zeit die Grundlagen der Topologie gelernt.
Heinz Hopf, damals Privatdozent in Berlin, kam öfters nach Göttingen und trug über die Topologie von Brouwer vor, über die Brouwer selbst niemals gesprochen hatte. Er trieb, wie gesagt, nur noch intuitionistische Mathematik und er betrachtete alles, was er als junger Mann in der Topologie geleistet hatte, als unstreng, weil intuitionistisch nicht haltbar. Zum Beispiel die Existenz eines Fixpunktes bei gewissen stetigen Abbildungen, die er selbst in einer glänzenden Arbeit bewiesen hatte, betrachtete er als nicht bewiesen, weil der Fixpunkt nicht effektiv konstruiert werden kann, nicht einmal angenähert werden kann mit beliebiger Genauigkeit.
Auch andere Topologen, wie Kuratowski, Kerekjarto und vor allem Paul Alexandrov, der berühmte russische Topologe, kamen öfter nach Göttingen. Sie blieben manchmal auch ein ganzes Semester, so Alexandrov im Jahr 27, glaube ich. Was in dieser Zeit in der Topologie vorging, war die Geburt eines ganz neuen Begriffsystems. Erstens wurde die mengentheoretische Topologie in dieser Zeit axiomatisiert, das geschah durch Hausdorff, Kuratowski und andere. Zweitens wurden in eben dieser Zeit die Grundbegriffe der algebraischen Topologie, wie man es heute nennt, aufgestellt, d. h. Begriffe wie Homologiegruppe, Schnittpunktzahl, Fixpunktindex und so weiter, mit dem heute alle Topologen regelmäßig arbeiten.
Ich erinnere mich noch, wie Hopf und Alexandrov und Emmy Noether über die Fixpunktformel von Lefschetz diskutierten. Diese Formel, die eben von Lefschetz publiziert worden war, gestattete es, die Anzahl der Fixpunkte einer stetigen Abbildung zu berechnen oder genauer gesagt, die Summe der Indizes dieser Fixpunkte, der Fixpunkte einer Abbildung einer Mannigfaltigkeit in sich selbst. Emmy Noether sagte, das soll man doch nicht mit Matrizen machen, nicht durch Rechnung, sondern mit Begriffen, mit additiven Gruppen und Homomorphismen dieser Gruppen. Dann wird alles viel durchsichtiger und viel schöner. Und so wurden die alten Begriffe wie Bettische Zahlen und Torsionszahlen zwar beibehalten, aber gruppentheoretisch begründet. Der Grundbegriff, aus dem diese alten Begriffe hergeleitet wurden, war der Begriff Homologiegruppe, der heute jedem Topologen geläufig ist. Die neue Auffassung wurde vorbildlich dargestellt in dem bekannten Lehrbuch von Seifert und Threlfall, das 1934 erschienen ist. Als die Fixpunktformel von Lefschetz nun gruppentheoretisch formuliert und bewiesen wurde, war Emmy Noether ganz begeistert. Emmy Noether, sie wird manchmal die Mutter der modernen Algebra genannt, pflegte in solchen Fällen zu sagen: „Der Beweis ist nun abstrakt gefaßt und durchsichtig gemacht". Denn das war für sie der Sinn der modernen, abstrakten Algebra, daß alle speziellen Rechnungen 'mit Matrizen usw. vermieden wurden, daß man von allen unwesentlichen Zügen des speziellen Problems abstrahierte und daß durch diese Abstraktion das wesentliche sichtbar wurde, die Begriffe an die Spitze gestellt wurden und die ganzen Beweise durchsichtig wurden.
[…]
Doch nun zur Algebra. Sie sind ja schließlich gekommen, um eine Algebra-Vorlesung zu hören. Brouwer hatte mir empfohlen, mich insbesondere an Emmy Noether zu halten. Mit Hilbert war er damals schon ziemlich verfeindet wegen des Streites um Intuitionismus und Formalismus. Aber die jüngeren Mathematiker in Göttingen, wie Emmy Noether, Ostrowski und Helmut Kneser, die schätzte Brouwer. Ich ging also in die Vorlesung von Emmy Noether und kam bald mit ihr auch persönlich zusammen. Sie war eine ganz eigenartige Persönlichkeit, grob gebaut mit einer dicken Nase, mit uneleganten Bewegungen, sie stapfte so vor der Vorlesung, sie zerstampfte manchmal ein Stück Kreide, das sie zerbrochen hatte ... , das Gegenteil einer eleganten Dame. Hermann Weyl drückte es in seinem Nachruf so aus: „Die Grazien standen nicht an ihrer Wiege". Aber das sind Äußerlichkeiten. Wichtiger war, sie war durch und durch ein guter Mensch, frei von jedem Egoismus, frei von aller Eitelkeit, frei von Pose, und sie half immer jedem Menschen wo sie konnte. Ihre Vorlesungen waren nicht schön ausgefeilt. Sie trug das vor, was sie sich eben neu überlegt hatte und sie versuchte noch während der Vorlesung die Darstellung zu verbessern. Das ging so: noch bevor sie einen Satz zu Ende gesprochen hat, brachte sie ganz rasch eine bessere Formulierung. Dadurch wurde das Verständnis natürlich nicht erleichtert, im Gegenteil. Aber wenn man aufmerksam zuhörte und mitzudenken versuchte, so hatte man mehr gelernt als in einer vollendet ausgefeilten Vorlesung. Der Titel der ersten Vorlesung, die ich von ihre hörte, war:„ Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen". Drei Jahre später, als ich mich in Göttingen habilitiert hatte, gab sie wieder eine Vorlesung mit demselben Titel, aber in verbesserter Form, sie hatte inzwischen sehr viele schöne Sachen gemacht, besonders über die Darstellungstheorie der Gruppen und die der hyperkomplexen Zahlen. Ich machte eine Mitschrift dieser Vorlesung. Sie hat die Mitschrift noch verbessert und sie in der Mathematischen Zeitschrift publiziert, als Arbeit über die Darstellungstheorie der Gruppen und hyperkomplexen Zahlen. Nachher wurde der Inhalt auch in Band 2 meiner Algebra aufgenommen. Doch kehren wir zum Jahr 24 zurück, als ich als Student nach Göttingen kam. Nach ihrer Vorlesung haben wir, ihre Schüler, oft mathematische Probleme mit ihr diskutiert. Meine Probleme waren vor allem Probleme der algebraischen Geometrie, denn ich fand das alles was ich in Amsterdam gelernt hatte, zwar sehr schön, aber ich wußte, daß das alles nicht streng begründet war und ich suchte nach einer Begründung. Dazu brauchte ich die Algebra. Ich legte ihr also meine Grundlagenprobleme vor, mit denen ich mich in Amsterdam schon gequält hatte. Zum Beispiel: Wie definiert man die Dimension einer algebraischen Mannigfaltigkeit, wie es damals hieß, oder einer algebraischen Varietät, wie man heute sagt? Man hat ein System von Gleichungen, die definieren im n-dimensionalen Raum eine algebraische Varietät. Was meint man, wenn man diese Varietät eine Kurve nennt oder eine Fläche? Oder, was meinen die Italiener, wenn sie von einem punto generico, einem allgemeinen Punkt, einer Varietät sprechen? Nun, man kann sich populär etwas denken, ein allgemeiner Punkt einer Kurve, das ist nicht ein Doppelpunkt, es ist auch nicht ein Wendepunkt, es ist auch nicht der Berührungspunkt einer Doppeltangente. Kurz, vom allgemeinen Punkt wird verlangt, daß er keinerlei spezielle Eigenschaften hat, die nicht allen Punkten zukommen. Gibt es das überhaupt? Die Antwort auf diese Frage fand ich in einer Arbeit von Emmy Noether über die Elimination. Die Antwort lautet so: man konstruiert einen allgemeinen Punkt einer irreduziblen Kurve zum Beispiel, indem man für eine Koordinate xr eine Unbestimmte nimmt. Den Begriff Unbestimmte hatte schon Kronecker im 19. Jahrhundert in die Algebra eingeführt. Eine Unbestimmte ist nichts anderes als ein Rechensymbol, für das man zwar spezielle Werte einsetzen darf, aber nicht einsetzen muß: ein Rechensymbol, mit dem man rechnen kann. Man nimmt also für eine Koordinate eine Unbestimmte und die anderen Koordinaten werden dann algebraische Funktionen dieser Unbestimmten. Im Fall einer Fläche nimmt man für 2 Koordinaten Unbestimmte und die übrigen Koordinaten werden algebraische Funktionen dieser Unbestimmten. Und damit ist gleichzeitig meine erste Frage beantwortet, was ist die Dimension? Wann nennt man eine Varietät eine Kurve oder Fläche? Die Dimension einer irreduziblen Varietät ist die Anzahl der Koordinaten, die man als Unbestimmte wählen kann, und von denen die übrigen dann algebraische Funktionen sind, also der Transzendenzgrad des Nullstellenkörpers im Sinne der Körpertheorie von Steinitz. Durch diese Berufung auf Steinitz ist gleichzeitig bewiesen, daß die Dimension unabhängig von der Wahl der unbestimmten Koordinaten xr, x2,... , xd ist. Denn Steinitz hat bewiesen, daß der Transzendenzgrad eines Körpers unabhängig davon ist, welche Körperelemente man als unabhängige Elemente wählt. Und so sehen Sie, daß die moderne Algebra, die ich von Emmy Noether lernte, mir die Lösung meiner Grundlagenprobleme fertig lieferte. In diesem Fall war es die Arbeit von Steinitz „Die algebraische Theorie der Körper", die 1910 in Crelles Journal, Band 137, erschienen ist. Sie müssen die Arbeit mal lesen, sie ist auch als Buch extra erschienen, ich glaube von Hasse und Baer herausgegeben. Die Wichtigkeit dieser Arbeit kann man gar nicht überschätzen, das Erscheinen dieser Arbeit von Steinitz war ein Wendepunkt in der Geschichte der Algebra des 20. Jahrhunderts. Nämlich, es war das erste Mal, daß eine bestimmte Struktur, nämlich die Körperstruktur, ganz allgemein axiomatisch untersucht wurde. Früher hatte man zwar Zahlkörper untersucht und Funktionenkörper, und auch endliche Körper hat Galois selbst untersucht - sie heißen heute noch Galoisfelder - aber der allgemeine Begriff Körper war noch nicht aufgestellt. Und nun ist es so, daß die Körper zu den allerwichtigsten Strukturen der modernen Algebra gehören; Körper und Gruppen sind die wichtigsten Strukturen und sie gehören auch zu den Strukturen, zu den Gebilden, deren Struktur man vollständig untersuchen kann. Man weiß seit der Arbeit von Steinitz, wie alle Körper aus Primkörpern entstehen: Durch Adjunktion, zuerst von Unbestimmten und dann von algebraischen Funktionen dieser Unbestimmten. So kann man sämtliche Körper erzeugen und so eine Übersicht über alle möglichen Körper gewinnen. Begriffe, die heute grundlegend sind für die ganze Algebra, sind bei Steinitz zum ersten Mal definiert, z. B. der Begriff „Körper der Charakteristik 0" oder „Körper der Charakteristik p" oder der Begriff „Transzendenzgrad", den ich vorhin erwähnt habe, stammt auch von Steinitz.
Nun zurück zum allgemeinen Punkt einer Varietät. Zur Konstruktion des allgemeinen Punktes hatte ich anfangs, wie gesagt. die Arbeit von Emmy Noether über die Eliminationstheorie gebraucht. Aber bald merkte ich, daß man den allgemeinen Punkt auch ohne Eliminationstheorie ganz einfach konstruieren kann, wenn man nur den Begriff Restklassenkörper eines Primideals benutzt und natürlich die Theorie von Steinitz anwendet. Ich schrieb das auf in einer Arbeit „Zur Nullstellentheorie der Polynomideale", meine erste Arbeit zur algebraischen Geometrie, und ich zeigte die Arbeit Emmy Noether. Sie sagte: „Das ist sehr gut, das werden wir gleich bei den Mathematischen Annalen einreichen". Sie gab mir dann noch an, wie ich die Arbeit etwas mehr begrifflich fassen konnte und wie ich die Reihenfolge der Definitionen und Theoreme und noch etwas ändern konnte. Die Arbeit wurde dann in Mathematische Annalen 96 publiziert. Aber Emmy Noether hatte mir verschwiegen, daß sie selbst ein halbes Jahr früher, bevor ich nach Göttingen kam, dieselbe Konstruktion des allgemeinen Punktes in ihrer Vorlesung schon gebracht hatte. Sie wollte dem jungen Mann die Freude an der Entdeckung nicht verderben! Ist das nicht großartig? Ganz anders war Gauß, der dem jungen Bolyai die ganze Freude an der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie verdorben hat, indem er ihm geschrieben hat: „Das weiß ich ja alles längst".
Siehe dazu auch das bekannte Lehrbuch über Algebra, das van der Waerden 1930 veröffentlichte und das auf Vorlesungen von Emmy Noether und Emil Artin beruht.